النسبة الذهبية

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

المقدمة التاريخية

لقد أثارت هذه النسبة اهتمام الباحثين عن التناسق والتناغم في عالم الأشكال، في هذه المقدمة سوف أتطرق إلى أصل هذه النسبة، وسوف أتطرق لكل فترة على حده ومدى إسهامها في تطور هذه النسبة.

الفراعنة والعدد الذهبي:

الدلائل على أهمية هذا العدد نجدها عند بُناة الأهرام من المصريين القُدماء الذين استعملوه كثيراً في بنائهم لأهرامهم.
مثلاً في الهرم خوفو وُجد أنه إذا أخذنا مسقطًا شاقوليًّا يمر من منتصف ضلعي المربع القاعدة، فإننا نجد مثلثًا متساوي الساقين، طول كلٍ منهما φ، وارتفاع المثلث هو ارتفاع الهرم، ويساوي ، هذا إذا اعتبرنا أن قاعدة المثلث تساوي 2، أي أن هذا المثلث مؤلَّف من مثلثين ذهبيين. ويشير هيرودوت إلى التناسبات القائمة في الهرم بقوله: "لقد أعلمني الكهنة المصريون أن التناسبات المُقامة في الهرم الأكبر بين جانب القاعدة والإرتفاع كانت تسمح بأن يكون المربع المُنشأ على الارتفاع يساوي بالضبط مساحة كل من وجوه الهرم المثلثة". ترى هل إنشاء مثل هذا المربع كان يُقصَد منه الإشارة إلى العلاقة بين π وφ، حيث إن العدد π قائم في الهرم من خلال نسبة الارتفاع إلى نصف محيط القاعدة؟ على أية حال، يجب أن نلاحظ أن خصائص هذا الهرم توافق كل هرم ميله 14/11 ( الموافق لزاوية ميل 51 درجة و50 دقيقة و35 ثانية)، وهي بالتالي لا تخُص هرم خوفو فقط. فقبل حُكم هذا الملك كانت هذه النسبة موجودة في هرم ميدوم عندما كان غطاؤه لا يزال موجوداً. ويثبت ذلك أن هذه النِسَب كانت موجودة في مَيَلان واجهات الأهرامات في السلالة الثالثة. والسؤال المطروح هو: هل كان المصريون القُدماء يعرفون هذه النِسَب منذ ذلك الزمن السحيق، أم أن اختيارهم لهذا النموذج كان من قبيل المصادفة؟ إن الحفاظ على هذا النموذج بهذه القياسات الدقيقة لا يحمل سوى معنى واحد باعتقادي، وهو أن المصريين عرفوا هذه النِسَب، وحافظوا عليها في سرية فائقة منذ أزمنة موغلة في القدم.
من جهة أخرى، إذا رسمنا قطعاً ناقصاً مِحورَهُ الصغير هو ضلع المربع في قاعدة الهرم، فإن نصف محوره الكبير سيساوي φ، وسيقع محرقُه عند ذروة الهرم. ترى هل كان المصريون يعرفون ذلك؟ نحن لا نعرف شيئاً عن معلوماتهم حول القطع الناقص، لكنهم كانوا فعلاً ينسبون ذروة الهرم إلى الشمس. يقول موريه أحد كبار علماء المصريين: "لقد وجدنا صدفة الذروة الهرمية التي كانت تعلو هرم أحد الملوك من السلالة الثانية عشرة، وهو "لأمنحوتب الثالث"، في دهشور. وكان هذا الحجر الجميل من الغرانيت منحوتاً ومصقولاً كالمرآة، ويحمل على جهته الموجهة نحو الشرق قرصًا مجنحًا". كانت هذه الذروة تعكس أشعة الشمس من الشروق حتى الظهر، فتبدو كأنها شعلة في ذروة الهرم. ونعلم أن كلمة هرم pyramid مُشتقة من الجذر اليوناني الذي يعني "نار". فإذا أبحرنا في الخيال وقارنا الشمس إلى الذهب، والذهب كان رمز النار والشمس والإله عند المصريين القُدماء، لكان من الممكن أن يسمِّي المصريون العدد الذهبي "عدد الشمس"، الشمس مُولِدَة الحياة على الأرض.
الكلام على الهرم لا ينتهي. لكننا نكتفي بالإشارة إلى أن غرفة الملك في هرم خوفو تحقق تناسبات ذهبية، وأضلاعها هي 2، 4،.

اليونانيين والنسبة الذهبية:

قبل نحو 2400 سنة في الماضي نحو عصر الحضارة اليونانية، حين كانت الثورة المعرفية والفنية في أوجها عند الإغريق. كان اليونان أول من بدأ في وضع النظريات العلمية الدقيقة للفنون كالرسم والنحت والموسيقى وقد اهتموا بربطها بالرياضيات فطوروا علوماً مثل علم هندسة الأشكال (Geometry) والذي يَدمج بين الرياضيات والرسم، وهو العلم الذي جاءت منه النسبة الذهبية. إن ما يُميز الحضارة اليونانية أنها امتلكت فكراً رقيقاً ناعماً اعتنى بالطبيعة والفلسفة، فكانت فنونها مثل هذا الفكر رقيقة جميلة، على العكس من الحضارة الرومانية التي كانت عسكرية بالدرجة الأولى، فكانت فنونها تعكس جانبها الإمبريالي التوسعي، فأعمالهم المعمارية ضخمة وذات أعمدة مستقيمة عريضة مُعبرة عن رغبة التوسع والتضخم في كل اتجاه، في حين كانت العمارة اليونانية أنيقة وذات منحنيات وأقواس رقيقة، وأعمدة يبدو الواحد منها كما لو أنه جسد امرأة فاتنة. وينُسبَ اكتشاف النسبة الذهبية لليونانيين القُدامى.
في هذه الفترة سأتطرق لعدة علماء الذين اهتموا بالنسبة الذهبية مثل إقليدس وفيثاغورس وتلاميذه وغيرهم.

إقليدس والنسبة الذهبية:

خلال اشتغال اليونانيين في العلوم والفنون، جاء عالم الرياضيات "إقليدس" وهو رياضي يوناني عاش في مدينة الإسكندرية ويُعتبر أبو الهندسة وقد كانت أعماله بشكل عام تُشكل أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات وقد كتب في الرسم المنظوري والمقاطع المخروطية والسطوح ثنائية البعد، واكتشف النسبة الذهبية وهو أول من أشار إلى هذه النسبة الإلهية وهو من سماها أيضاً "بالنسبة النهائية والمتوسطة"، إذ هي عبارة عن تناسب أطوال: أن تكون نسبة الطول كاملاً للجزء الكبير منه، مثل نسبة الجزء الكبير للصغير.

كما قد وردت في احد كتب إقليدس حين طرح فكرة تقسيم قطعة مستقيم إلى قسمين بحيث أن:
تفرض أن النقطة c تقسم القطعة AB بهذه النسبة إذا كان:
فان تحققت هذه الحالة فيمكننا القول أن قطعة المستقيم هذه قد قسمت وفقا للنسبة الذهبية.
وهذا ليس عجباً أن يكون تعريف إقليدس للنسبة الذهبية من وجهة نظر هندسية، فكما هو معروف أن اليونانيين اهتموا بالهندسة، حتى أنهم فضلوا التمثيل الهندسي على التمثيل الجبري.
ملاحظة إقليدس كانت وليدة انتباهات لعلماء سبقوه، وقد اهتم بها علماء لحقوه كذلك، وتبين مع الدراسات والتجارب إن وجود هذه النسبة الذهبية في الأشكال والأطوال والتقسيمات يغدو أجمل في نظر الناس، وفي نظر الفنانين فإن النسبة الذهبية هي الأجمل في تنظيم وترتيب أجزاء العمل الفني.

اودوكسوس والنسبة الذهبية:

الرياضي اليوناني "اودوكسوس" (Eudoxos)، الذي عاش في المائة الثالثة قبل الميلاد هو الأوّل الذي جرّب أن يجد عن طريق التجربة والاختيار هذا العدد، وهذا ما فعله هذا الرِياضي القديم: طلب اودوكسوس من مجموعة من الأفراد أن يقسموا مستقيماً محدود الطول إلى قسمين غير متساويين بحيث تبدو نتيجة القسمة مريحة للعين. لقد قصد أودوكسوس بعبارة "مريح للعين" أنه كان يعني تناسقاً أو تناغماً في القسمة أو جمالاً يلذّ للعين رؤيته وملاحظته.
لو لم يشترط اودوكسوس أن يكون القسمان غير متساويين لمِا كان يَصعب على الذين سألهم أن يُحددوا نقطة الوسط كنقطة تَقسِم المستقيم بشكل جميل ومتناسق ومتناغم، ولكن ما هو الجمال وما هو المتناسق عندما لا تكون نقطة الوسط هي المقصودة؟ إن هذه العبارات هي عبارات غير موضوعية وكل واحد قد يفهم الجمال أو التناسق على هواه، ولكن الغريب في الأمر أن معظم الناس يتفقون على أن "الجميل" هو جميل حقاً.
وهذا ما حدث في تجارب أودوكسوس إذْ أن معظم الذين سألهم أعطوا إجابات متقاربة، وعندما حَسَبَ أودوكسوس هذه الأجوبة وجد أن نقطة القسمة كانت تقسم المستقيم بنسبة مفاجئة هي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]1.618 تقريباً.
لقد وجد أودوكسوس ذاته أن فيدياس أشهر صانعي التماثيل اليونانيين قد بنى تماثيله حسب النسبة الذهبية هذه. ذلك أن أودوكسوس عاد إلى هذه التماثيل وبعد إجراء عدّة تجارب عليها وجد أن فيدياس قد حافظ بدقة على هذه النسب في الأجسام التي بناها دون أن يكون واعياً لِما يفعل. وهذا ما دعا أودوكسوس إلى الرمز بالحرف φ (الحرف ف في اليونانية أول أحرف اسم فيدياس) للعدد الذهبي و قد ظهرت هذه التسمية سنة 1914 ق.م وفاء لذكرى "فيدياس"، وهو نحّات قام بتزيين "البارثينون" في أثينا.
السؤال الذي يتبادر للذهن ما الذي دعا فيدياس إلى مراعاة العدد الذهبي دون أن يسمع عنه؟
إن الأجسام تبدو هكذا أكثر تناسقاً. ولا يبقى أمام علماء الجمال، والحُكام في مسابقات الجمال إلا أن يستعملوا العدد الذهبي في الحُكم على أجمل الأجسام. وهذا أيضاً ما فعله المصريون حين جاءوا ليبنوا أهرامهم، ومن ذلك التاريخ يجد الناس هذا العدد أكثر انتشاراً في الطبيعة مِما يتخيلون أول الأمر.

فيثاغورس والنسبة الذهبية:

تبدأ القصة مع الرياضي اليوناني فيثاغورس حيث أجرى الدراسات والأبحاث في علوم الطبيعة لدراسة معايير الجمال وعلاقات النسب في الطبيعة، وتوصل إلى ما يُعرف في الهندسة الحديثة بالمستطيل الذهبي أو النسبة الذهبية، وهي نسبة تبلغ 61803398875,1 وتسمى Phi اشتقاقًا من الحرف اليونانيφ.
وقد وجد فيثاغورس واليونانيين القُدماء أن هذه النسبة مريحة بصرياً وتُشكل أحد أهم معايير الجمال في الطبيعة، ولذا فقد اعتمدوا هذا المستطيل الذهبي في عمائرهم، حيث أظهرت الدراسات المعمارية الحديثة إن مبنى البارثنون الشهير بتخطيطه المستطيل يخضع لهذه النسبة تماماً.
وقد قال فيثاغورس: إن كلَّ شيء في الطبيعة خاضع لقوانين التناسق، كذا فإن الإنسان يشعر أن الجمال يرتكز على قوانين التناسُب، ويحدس أن الطبيعة المتناسبة إنما تفصح بتشكيلاتها عن جمال أعمق من الجمال الظاهري، أي عن جمال الحقيقة المكنونة في تنوعاتها كلِّها. ولا شكَّ أن شعور الإنسان بالجمال يعكس بُنْية الإنسان نفسها القائمة على قوانين التناسق الطبيعية وبالتالي، فإن وعي الإنسان هو، في جوهره، فعل تناغم مع الطبيعة".
قد أوجد فيثاغوس أنه توجد نسبة ذهبية في شكل خاص في المخمَّس المنتظم وفي المضلَّع ذي العشرة أضلاع المنتظم. المخمَّس المنتظم هو مخمَّس المعرفة، وهو النجمة الخماسية العزيزة على الفيثاغوريين، وكانت في نظرهم رمز العلم الصغير (الإنسان - الكون الصغير). وقد حافظ على هذا الرمز فلاسفة العصور الوسطى وعصر النهضة. ورسم دافنتشي شكلاً شهيراً للإنسان – الكون الصغير – ضمن مخمَّس، كما نادى به أغريبا نتشايم. وكان هذا الشكل رمزاً للصحة والحب. ويُعلِّمَنا لوقيانوس أنه كان رمز الإرتباط بالفيثاغوريين.

نيقوماخوس والنسبة الذهبية:

كما أورد نيقوماخوس تلميذ فيثاغورس النسبة الذهبية قبل فيبوناتشي وغيره، ويقول كثير من الرياضيين أنها كانت معروفة قبله، ولكن ليس هناك نص يدعم ذلك ولكنهم يستدلون بعدد من النماذج المعمارية التي بُنِيَت قبل فيثاغورس ونيقوماخوس ومنها الأهرامات. ولم تُعرف اسم النسبة الذهبية حين ذاك، فهذه التسمية تمت لاحقاً بعد قرون عديدة. وأكد نيقوماخوس بأنها المعيار الحقيقي لرسم الشكل الخماسي.

فيبوناتشي والنسبة الذهبية:

فيبوناتشي وهو عالم رياضياتإيطالي، و قد اشتهر حديثا باسم فيبوناتشي، و كان يُعرف فيما مضى باسم ليوناردو بيزانو (نسبة إلى مدينته بيزا)، كما كان يعرف باسم ليوناردو بيقوللو (وتعني Bigollo المسافر)، لكن اسمه الحقيقي كان ليوناردو قيلييلمي.
فيبوناتشي الذي عاش في القرن الثاني عشر والثالث عشر، هو من أدخل لأوروبا طريقة الكتابة العشرية وأوضح حسناتها الكثيرة التي تتفوق على طريقة الكتابة الرومانية كما قام فيبوناتشي بتعريف الأوروبيين على أنظمة الحساب و الكتابة العربية. و قد كان هذا النظام يفوق بمراحل النظام الروماني المُُعْتَمَد آنذاك في أوروبا، وحتى عصرنا هذا يحظى فيبوناتشي بشعبية كبيرة وخصوصا بفضل متواليته التي حصل عليها نتيجة لحل مسألة الأرانب. و من بعض خصائص هذه المتتالية، أن خارج قسمة أي عنصر على العنصر الذي قبله يقترب رويداً رويداً من الرقم الذهبي.
هناك مسائل كثيرة التي تخص متوالية فيبوناتشي، كما أن هناك الكثير من الظواهر الطبيعية التي تظهر فيها هذه المتوالية. مثلاً: في النباتات وبعض الكائنات الحية، مثل: لولبة فيبوناتشي المشهورة التي يمكن إيجادها في الحيلزون أو حتى في نبتة دوار الشمس.
تذكر المصادر إلا أن فيبوناتشي قد سافر إلى البلاد العربية وتعلَّم الرياضيات من كبار مُعلِميها. ورُبما كان قد اطَّلع على متتالية عمر الخيام. لكن هذا لا يمنع أبداً أنه كان أول من دَرَس هذه المتتالية في شكل وافٍ في مؤلَّفه Liber Abacci الذي وضعه في العام 1202.

محاولات لتقدير النسبة الذهبية:

قَدَمَ العربي ابن شجاع المعروف بالحاسب المصري مُعطيات كثيرة في محاولاته لتقدير قيمتها تقارب الدقة لحلها،
حتى قَدَم فيبوناتشي تقديراً قريباً منها كثيراً (وهي الموجودة في ارتداداته).وقد أعترف بأنه في دراساته أعتمد على الكثير من المصادر العربية.
لقد كان أول تقدير دقيق لها عام 1597 ميلادي بأنها تساوي 1.6180340.
وحالياً يعتبر الرقم الأكثر دقة = 1.61803398874989484821.

يوهانس كبلير:

الذي اكتشف حقيقة أن النسبة بين أعداد فيبوناتشي المتتالية تقترب للنسبة الذهبية كان الفلكي المعروف يوهانس كبلير. هو أوضح هذا برسالة التي كتبها سنة 1608. وهو أيضا أوجد، حتى قبل أفلاطون وباتسولي، أن للمجسمات المكونة من خمس سُطوح مُنظمة يوجد وظيفة كونية مهمة. وقد أوجد ذلك في كتابه "غموض الكون" الذي نُشر سنة 1597 وهو اقترح، أن النسب بين أطوال أنصاف أقطار مسارات الكواكب السيّارة الستة، التي كانت معروفه في زمنه، هي نفس النسب بين أطوال أقطار الكُرات المحصورة والحاصرة بالسُطوح المنظمة.
ليس عجباً أن كيبلر اهتم بالمجسمات وبالنسبة الذهبية وهذا واضح من خلال كتاباته بحيث كتب :" أنا أؤمن أن النسبة الهندسية هذه أوحت للخالق بفكرة خلق شبيه من شبيه آخر، والتي تستمر للما لانهاية".
سنة 1597 أرسل كيبلر للفلكي ميكال مستلين، الذي كان مُدَرِسَهُ بجامعة طيبنجن، النظرية التالية بالنسبة لموضوع النسبة الذهبية: إذا كان الارتفاع يُقسم الوتر بالنسبة الذهبية، إذن العمود القصير يساوي المسقط الآخر. هذه النظرية دعيت بنظرية كيبلر.
من الواضح أن نظرية كيبلر كانت نتيجة لتشابه المثلثات، بحيث إذا أخذنا BD كوحدة طول، إذن:
من تشابه المثلثات:
لذلك:
ينتج من ذلك: AB=DC

فايرو دال برنتسكا:

الرسام الموهوب فايرو دال برنتسكا الذي وُلد في سنة 1412 بمدينة سان-سفولكرو، لقد أهتم بالرياضيات وبكتابه "الرسم المنظوري" في هذا الكتاب تناول موضوع رسم الأشياء بطريقة تبدو شبيهة من حيث أبعادها النسبية ومنظرها للواقع. وهو الذي فرض الأساس الرياضي للرسم المنظوري، وقام بكتابة مقال تطرق به إلى الأشكال الفراغية وهي: رباعي الوجوه المنتظم، المكعب، ثُماني الوجوه، ذو ال12 وجهاً، وذو ال20 وجهاً (وهي ما نُعرَف بالمجسمات الأفلاطونية وهي أحجار منحوتة من العصر النيوليثي وُجِدَتْ في بريطانيا، وتَدُل على معرفة شعوب تلك الفترة بتلك المجسمات قبل أفلاطون بألف عام). لقد بين أن النسبة الذهبية موجودة في الأشكال الهندسية المستوية، كذلك نجدها في الأشكال الفراغية. ففي ذي العشرين وجهاً مثلاً، إذا وصلنا بين الحرفين المتقابلين تكون المسافة φ إذا كان طول الحرف يساوي 1.

المجسَّمات الأفلاطونية
لوكا باتشيولي:

أول من أطلق اسم النسبة الذهبية كان الرياضي الايطالي لوكا باتشيولي الذي وُلد سنة 1445 في سان- سفولكرو وهو تعلم الرسم عند الفنان فايرو دال برنتسكا.في العام 1509 نشر لوكا باتشيولي، الذي لُقِبَ بالراهب الثمل بالجمال، مؤلفاً بعنوان "النسبة الإلهية". وقد رسم صور هذا الكتاب ليوناردو دافنشي الذي لم يكن أقل من المؤلف سُكراً بالجمال وعشقاً للنسبة الإلهية. في سنة 1509 أيضاً قام باتشيولي بنشر كتاب مُكون من ثلاث مُجلدات باسم "الرسم المنظوري الإلهي"، وقيل أن هناك علاقة بين النسبة الذهبية وبين الإله من خلال عدة أمور:
هذه النسبة هي فريدة من نوعها كمثل الإله.
النسبة الذهبية عبارة عن عدد غير نسبي وهذا يدل على اختلافها عن غيرها وهكذا الإله شامخ ورفيع ويصعب على الإنسان فهم قُدراته.
النسبة الذهبية ليست متغيرة وغير متعلقة بطول القطعة أو بالمخمس المنتظم كذلك الإله فهو غير متعلق لا بإنسان ولا بجماد.

الألمان والنسبة الذهبية:

اسم النسبة الذهبية ظهر بألمانيا، بالقرن التاسع عشر. حسب مريف ليفاف، المرة الأولى التي ظهر بها بالكتب كان عند الرياضي الألماني مَرْتِين اووهام، اخو الفيزيائي المعروف جيارغ سيمون. في نهاية القرن التاسع عشر تبدل اهتمامه من الغموض الكوني التي استحوذ عليه لشيء أخر، يُمكن القول أنها أقيمت تقريباً فرقة من الرياضيين الهاويين، الذين حاولوا إيجاد النسبة الذهبية بكل مكان، وبكل فترة مثل بالمباني القديمة للفراعنة، بتماثيل اليوناننين، البوابات، بالخرائط، رسومات الرسامين وغيرها من الأمور.
لقد قال مريف: إحدى الاكتشافات وجدتها من فترة البابليين وهي من خلال الهرم المعروف بهرم كاوبس.

الدراسات الحديثة:

أظهرت الدراسات الحديثة التي أجراها العالم روبنسون إن الهرم الأكبر الذي بناه الفراعنة بالجيزة يخضع لقوانين النسبة الذهبية، حيث إن النسبة بين المسافة من قمة الهرم إلى منتصف أحد أضلاع وجه الهرم، وبين المسافة من نفس النقطة حتى مركز قاعدة الهرم مربعة تساوي النسبة الذهبية.
في العام 1875 وجد "فينر" أن الزاوية 137 درجة و30 دقيقة و28 ثانية التي تظهر غالبًا في نمو الأوراق في أثناء التباعد الحلزوني الثابت لفروع التيجان، هي زاوية تنتج عن حل معادلة النسبة الذهبية، وتساوي ، وتُوافق الحل الرياضي لمسألة التوزيع الأمثل (يكون الأقصى في المناخ المعتدل) للأوراق، بحيث يكون الضوء الواصل محورياً أو عمودياً. وقد دُعِيَتْ هذه الزاوية بالزاوية المُثلى، وتساوي.

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]